第二阶段：位置关系判定 SOP
“听好了：在圆这一节，能用‘几何法’就绝不用‘代数法’。算 $\Delta$（判别式）是解析几何里最累的活。”
- 第一步：找圆心和半径。 若是一般式，先配方或记公式：圆心 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$。
- 第二步：算距离 $d$。 计算圆心到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离。
- 第三步：比大小。
- $d < r \Rightarrow$ 相交（两交点，弦长 $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$）
- $d = r \Rightarrow$ 相切（唯一切点）
- $d > r \Rightarrow$ 相离（无交点）
第三阶段：切线陷阱与弦长
“‘过一点求切线’是典型的上海高考陷阱题。很多孩子会漏掉斜率不存在的情况。”
已知圆 $C: x^2 + y^2 = 1$，求过点 $P(1, 2)$ 的切线方程。
解析：
1. 验证位置： $1^2 + 2^2 = 5 > 1$，点 $P$ 在圆外，应有两条切线。
2. 设斜率： 设切线 $y-2 = k(x-1) \Rightarrow kx-y+(2-k)=0$。
3. 用几何法： 圆心 $(0,0)$ 到直线距离 $d = \frac{|2-k|}{\sqrt{k^2+1}} = 1$。
平方解得：$4-4k+k^2 = k^2+1 \Rightarrow 4k=3 \Rightarrow k=\frac{3}{4}$。
4. 找回另一条： 算出来只有一个 $k$，说明另一条斜率不存在！观察图象可知 $x=1$ 也是切线。
结论： 切线为 $3x-4y+5=0$ 或 $x=1$。