第一阶段：平面的灵魂——法向量
“ZRH，平面的方向不是由它‘躺’在哪决定的，而是由那根垂直于它的‘刺’——法向量 $\vec{n}$ 决定的。搞定法向量，你就搞定了整个平面。”
求法向量方程组： 设 $\vec{n} = (x, y, z)$，平面内找两个不共线向量 $\vec{a}, \vec{b}$：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b} = 0 \end{cases}$
985AI 避雷针： 解方程组时，可以大胆令 $z=1$ 或 $x=1$。法向量不唯一，我们只需要最简单的那个。
第二阶段：三大角度秒杀 SOP
“一旦建了系，求出了各线的方向向量 $\vec{l}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$，剩下的就是查表套公式。”
- 线线角 $\theta$： $\cos \theta = \frac{|\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}|}{|\vec{l_1}||\vec{l_2}|}$（永远是绝对值，角在 $[0, 90^\circ]$）。
- 线面角 $\alpha$： $\sin \alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}||\vec{n}|}$（注意！线面角用的是 $\sin$）。
- 二面角 $\phi$： $|\cos \phi| = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$（结果需根据几何图象判断是钝角还是锐角）。
第三阶段：距离公式与二面角陷阱
“上海高考最后的大题，经常让你求‘点到平面的距离’或者‘二面角’。用向量法，这只是 2 分钟的计算量。”
已知点 $P$ 及平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，$A$ 是平面内任意一点，求 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d$。
985AI 必杀公式： $d = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$
解析： 这个公式本质上是向量 $\vec{AP}$ 在法向量方向上的投影。不需要找垂足，随便找个平面内的点 $A$ 就能算。
算出两个法向量的夹角余弦为 $1/3$，但观察图形发现二面角是钝角，最终答案应该是？
结论： $-1/3$。
解析： 向量法算出的余弦值是法向量的夹角。二面角要么等于它，要么互补。如果图形明显是钝角，必须手动加负号！