第一阶段：右手定则构建世界

“ZRH，建立坐标系的第一条红线就是‘右手定则’。大拇指指向 $z$ 轴，食指指向 $x$ 轴，中指指向 $y$ 轴，顺序错了，所有的手性结论都会崩盘。”

空间直角坐标系中的点 $P(x, y, z)$ 对应从原点出发的向量 $\vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$。

核心意识： 向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标。

第二阶段：代数化的暴力美学

“只要有了坐标 $(x, y, z)$，空间里的一切距离、夹角、垂直都可以通过简单的四则运算搞定。”

模长（距离）： $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
数量积： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
垂直判定： $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$。
夹角余弦： $\cos \theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$。

第三阶段：建系位置的战略选择

“建系不是随便建的。选谁做原点，决定了你要算多累。通常选‘三线两两垂直’的顶点。”

试炼 1：复杂点坐标的快速抓取

在一个棱长为 2 的正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，以 $D$ 为原点建立系。求线段 $A'C$ 的中点 $M$ 的坐标。

解析：
1. 确定各点：$A'(2, 0, 2)$, $C(0, 2, 0)$。
2. 中点公式：$M\left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1, 1, 1)$。
结论： $M$ 的坐标为 $(1, 1, 1)$，刚好是正方体的中心。

试炼 2：垂直关系的代数验证

已知 $\vec{a} = (1, \lambda, 1)$, $\vec{b} = (2, -1, 1)$。若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，求 $\lambda$ 的值。

解析：
利用 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$：
$1\times 2 + \lambda\times(-1) + 1\times 1 = 0 \Rightarrow 2 - \lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$。
结论： $\lambda = 3$。