第一阶段：从平面到空间的飞跃

“ZRH，空间向量和平面向量唯一的区别就是它多了一个 $z$ 轴方向。记住：它的本质依然是‘带有方向的线段’，且可以平移。”

空间中的加法依然满足平行四边形法则。观察下方 3D 投影演示，看两个向量如何在空间中合成。

核心性质： 空间向量的加减法、数乘运算律与平面向量完全一致。主要的战场在于数量积。

第二阶段：数量积的算法逻辑

“数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 是立体几何的灵魂。它是你求长度、证垂直、算夹角的唯一工具。”

定义式： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$。
垂直判定： $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。（这是立体几何证明垂直的最快方法）
求模长： $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}$。
求夹角： $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$。

第三阶段：夹角与范围陷阱

“注意：向量夹角的范围是 $[0, \pi]$。在线面角和二面角的转化中，这里有个巨大的正负号陷阱。”

试炼 1：基底法解夹角

已知空间单位向量 $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ 两两夹角均为 $60^\circ$，求向量 $\vec{a} = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_2} + \vec{e_3}$ 的夹角。

解析：
1. 计算模长：$|\vec{a}|^2 = \vec{e_1}^2 + \vec{e_2}^2 + 2\vec{e_1}\cdot\vec{e_2} = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos60^\circ = 3 \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{3}$。同理 $|\vec{b}| = \sqrt{3}$。
2. 计算点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{e_1}+\vec{e_2})(\vec{e_2}+\vec{e_3}) = \vec{e_1}\cdot\vec{e_2} + \vec{e_1}\cdot\vec{e_3} + \vec{e_2}^2 + \vec{e_2}\cdot\vec{e_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2.5$。
3. 求余弦：$\cos \theta = \frac{2.5}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6}$。
结论： 夹角的余弦值为 $5/6$。