第一阶段：多米诺骨牌效应

“ZRH，数学归纳法不是在做无限次的实验，而是在证明‘如果前一个倒了，后一个也必倒’这个因果链。”

证明一个与正整数 $n$ 有关的命题 $P(n)$ 成立，只需两步：

核心原理： 1. 第一块必须倒；2. 保证第 $k$ 块倒下能带倒第 $k+1$ 块。

第二阶段：规范证明三步走

“上海高考对数学归纳法的格式要求极严。少写一句‘假设’或‘结论’，直接扣 2 分。”

奠基： 证明当 $n=1$（或题目要求的最小值）时命题成立。
递推假设： 假设当 $n=k$ ($k \ge 1, k \in \mathbb{N}^*$) 时命题成立。
递推证明： 在假设成立的基础上，证明当 $n=k+1$ 时命题也成立。（核心：必须用到 $n=k$ 的结论！）
收官： 总结：综上所述，命题对一切 $n \in \mathbb{N}^*$ 都成立。

第三阶段：思维陷阱与综合考法

“归纳法的难点不在于格式，而在于从 $k$ 推到 $k+1$ 时，如何凑出 $n=k$ 的结构。”

试炼 1：不等式的证明陷阱

用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^n-1} < n$。在从 $k$ 到 $k+1$ 的跨越中，项数增加了多少？

解析：
当 $n=k$ 时，最后一项是 $\frac{1}{2^k-1}$。
当 $n=k+1$ 时，最后一项是 $\frac{1}{2^{k+1}-1}$。
增加项数： $(2^{k+1}-1) - (2^k-1) = 2^k$ 项。
这是归纳法证明中处理“项数突变”的最常见题型。

试炼 2：归纳 - 猜想 - 证明

已知 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$，求通项并证明。

战术路径：
1. 归纳： 算出 $a_2=1/2, a_3=1/3, a_4=1/4$。
2. 猜想： $a_n = 1/n$。
3. 证明： 使用数学归纳法验证你的猜想。这种“三部曲”是上海大题的标配。